深度学习基础（Fuzzy，FNN）

本文介绍了模糊的基础知识，包括模糊集，模糊逻辑，模糊决策，模糊神经网络（FNN）。

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• 1. 基础知识
  • 1.1. 模糊集与隶属度
  • 1.2. 模糊集运算
  • 1.3. 模糊度
  • 1.4. 模糊逻辑
  • 1.5. 模糊决策
• 2. 模糊神经网络
• 3. 参考文献

1. 基础知识

1.1. 模糊集与隶属度

A fuzzy set is a class of objects with a continuum of grades of membership. Such a set is characterized by a membership (characteristic) function which assigns to each object a grade of membership ranging between zero and one. —— Fuzzy sets by L.A. Zadeh, 1965

模糊集是一类具有连续隶属度的对象。这样一个集合可以用一个成员（特征）函数来表征，该函数为每个对象分配0到1之间的成员级别。

Fuzzy set is a mathematical model of vague qualitative or quantitative data, frequently generated by means of the natural language. —— Fuzzy Sets Milan Mares @ scholarpedia

模糊集是一种模糊的定性或定量数据的数学模型，经常借助自然语言生成。该模型是基于经典的集合及其特征函数概念的推广。

The attempts to use the computing technology for processing such models have pointed at the fact that the traditional probabilistic processing of uncertainty is not adequate to the properties of vagueness. Meanwhile the probability, roughly speaking, predicts the development of well defined factor (e.g., which side of a coin appears, which harvest we can expect, etc.), the fuzziness analyzes the uncertain classification of already existing and known factors, e.g., is a color “rather violet” or “almost blue”? “Is the patient’s temperature a bit higher, or is it a fever?”, etc. —— Fuzzy Sets Milan Mares @ scholarpedia

利用计算技术处理这类模型的尝试表明，传统的不确定性概率处理方法不足以处理模糊特性。粗略地说，概率用来预测定义明确的因素的发展（例如，硬币的哪一面出现了，我们期望的收获情况等），而模糊性分析已经存在和已知的因素的不确定分类，例如，颜色是“相当紫罗兰色”还是“几乎蓝色”，病人的体温“有点高，还是发烧？”等等。

In classical set theory, the membership of elements in a set is assessed in binary terms according to a bivalent condition — an element either belongs or does not belong to the set. By contrast, fuzzy set theory permits the gradual assessment of the membership of elements in a set; this is described with the aid of a membership function valued in the real unit interval [0, 1]. —— wikipedia

在经典集合论中，一个集合中元素的隶属度是根据一个二价条件（一个元素要么属于集合，要么不属于集合）用二元项来评估。相比之下，模糊集理论允许逐步评估集合中元素的隶属度；这是借助于以实数单位区间 $[0,1]$ 取值的隶属函数来描述的。

任何科学理论都有它的研究对象，这些对象构成一个不空的集合，称为论域。在形式科学里，论域（或称做论述全集），是指在某些系统化的论述里的一些令人感兴趣的变数之上，由其中的实体所组成的集合。

给定一个论域（universe of discourse） $U$ ，那么从 $U$ 到单位区间 $[0,1]$ 的一个映射 $\mu_A:U\rightarrow[0,1]$ 称为 $U$ 上的一个模糊集。

要注意，严格地说，模糊集或子集是映射所确定的序对集，但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定，因而我们不区分映射和映射所确定的序对集，而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。

模糊集可以记为 $A$，映射（函数）$\mu(\cdot)$ 或简记为 $\mu_A$ 叫做模糊集 $A$ 的隶属度函数（membership function）。对于每一个 $x\in U$ ，$\mu_A(x)$ 叫做元素 $x$ 对模糊集 $A$ 的隶属度。

传统集合在模糊集理论中通常称作“明确集（crisp set），而隶属度函数只能取 0 或者 1 时，对应于传统集合的指示函数（indicator function）。

模糊集可以表示为：

• 解析法：也即给出隶属度函数的具体表达式（或者如上图的曲线形式）；
• Zadeh 记法：$A = \frac{1}{x_1} + \frac{0.7}{x_2} + \frac{0}{x_3}$，分母是论域中的元素，分子是对应的隶属度；
• 续偶法：$A = {(x_1,1),(x_2,0.7),(x_3,0)}$；
• 向量法：在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如 $A=(1,0.7,0)$。

一个模糊集的实例，假设 $Age\in[0,100]$ 是一个论域，，我们可以定义两个模糊集 young ，midlife，和 old。对于模糊集 young 可以定义为下图的形式。当然也可以定义为其它形式。

另一个模糊集的实例：

一个常用的隶属度函数为高斯隶属度函数

\[A(x)=e^{-\frac{-(x-\mu)^2}{\sigma^2}}\]

其中 $\mu, \sigma$ 分别为高斯隶属度函数的中心和宽度。

1.2. 模糊集运算

首先建立公共假设：$A,B,C\sim U,\forall x \in U$

Standard fuzzy set operations are union, intersection and complement

模糊集的关系包括：相等、包含。

• 若 $\mu_A(x) = \mu_B(x)$，则称 $B$ 和 $A$ 相等，记为 $A = B$；

• 若 $\mu_A(x)\leq \mu_B(x)$，则称 $B$ 包含 $A$，记为 $A \subseteq B$。

标准的模糊集运算包括：交（取小）、并（取大）、补。

• 模糊集的交集定义为取模糊集中的最小值。$C=A\cap B:\mu_C(x) = min{\mu_A(x),\mu_B(x)} = \mu_A(x)\land \mu_B(x)$

• 模糊集的交集定义为取模糊集中的最大值。$C=A\cup B:\mu_C(x) = max{\mu_A(x),\mu_B(x)} = \mu_A(x)\lor \mu_B(x)$

• 模糊集的交集定义为取模糊集中的反值。$C = A^C:\mu_C(x) = \mu_{A^C}(x) = 1-\mu_A(x)$

下面给一个并（取大）和交（取小）的例子。

1.3. 模糊度

一个模糊集 $A$ 的模糊程度的衡量，直观定义如下：

设映射 $D:F(U)\rightarrow [0,1]$ 满足下述5个性质：

• 清晰性：$D(A) = 0$ 当且仅当 $A\in P(U)$。（经典集的模糊度恒为0）
• 模糊性：$D(A) = 1$ 当且仅当 $\forall x \in U, A(x) = 0.5$。（隶属度都为 0.5 的模糊集最模糊）
• 单调性：$\forall x\in U$，如果 $A(x)\leq B(x) \leq 0.5$ 或者 $A(x) \geq B(x) \geq 0.5$，则 $D(A)\leq D(B)$。（元素隶属度越靠近 0.5 的模糊集越模糊）
• 对称性：$\forall A\in F(U)$，有 $D(A^c)=D(A)$。（补集的模糊度相等）
• 可加性：$D(A\cup B) + D(A\cap B) = D(A) + D(B)$。

则称 $D$ 是定义在 $F(U)$ 上的模糊度函数，而 $D(A)$ 为模糊集 $A$ 的模糊度。

可以证明，符合上述定义的模糊度是存在的。一个常用模糊度的公式（分别针对有限和无限论域）为

\[\begin{aligned} D_p(A) &= \frac{2}{n^{1/p}}\left( \sum_{i=1}^n \vert A(x_i) - A_{0.5}(x_i) \vert^p \right)^{1/p}\\ D(A) &= \int_{-\infty}^{+\infty}\vert A(x)-A_{0.5}(x) \vert dx \end{aligned}\]

其中，$p>0$ 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当 $p=1$ 时称为 Hamming 模糊度或者 Kaufmann 模糊指标。当 $p=2$ 时称为 Euclid 模糊度。

1.4. 模糊逻辑

模糊逻辑是对布尔逻辑的推广，针对隶属度进行计算。

模糊逻辑的定义形式有很多种，比较常见的被称为是 Zadeh operators，如下表所示

Boolean	Fuzzy
AND(x,y)	MIN(x,y)
OR(x,y)	MAX(x,y)
NOT(x)	1-x

另一种 AND/OR 算子基于乘法定义

x AND y = x*y
NOT x = 1-x

Hence,
x OR y = NOT( AND ( NOT(x), NOT(y) ) )
x OR y = 1-(1-x*(1-y))

1.5. 模糊决策

最大隶属度法：取推理结果中隶属度最大的一项作为输出。简单易行，但是完全派出了隶属度较小的其它量的影响和作用，没有充分利用推理过程取得信息。

加权平均法：

\[U = \frac{\sum_{i=1}^n\mu(x_i)x_i}{\sum_{i=1}^n\mu(x_i)}\]

中位数法：论域上把隶属度函数曲线与横坐标围成的面积平分为两部分的元素，称为模糊集中的中位数。将中位数作为输出。由于模糊推理不需要很精确，可以直接取靠近中位数的一个结果作为结果。

中位数法相比最大隶属度法利用了更多信息，但计算复杂，特别是隶属度函数连续时还要计算积分，因此应用场合比加权平均法少。

加权平均法比中位数法具有更佳的性能，更好的静态性能，但是相比中位数法的动态性能稍逊。

2. 模糊神经网络

• 将模糊逻辑用于神经网络：将模糊集合的概念应用于神经网络的计算和学习，用模糊技术提高神经网络的学习性能；
• 将神经网络用于模糊系统：
  • 用神经网络的学习能力实时调整知识库，在线提取或调整模糊规则或其它参数；
  • 用神经网络完成模糊推理过程。
• 模糊系统和神经网络的全面结合，构造完整意义上的模糊神经网络和算法。

模糊神经网络（Fuzzy Neural Network, FNN）（又称为神经模糊系统，Neuro-Fuzzy System, NFS）是一个学习机，通过利用神经网络的近似技术来找寻一个模糊系统的参数（如模糊集，模糊规则）。

A fuzzy neural network or neuro-fuzzy system is a learning machine that finds the parameters of a fuzzy system (i.e., fuzzy sets, fuzzy rules) by exploiting approximation techniques from neural networks. Fuzzy neural network —— Rudolf Kruse @ scholarpedia

神经网络控制和模糊控制的优劣比较如下表所示。

Neural Networks	Fuzzy Systems
no mathematical model necessary	no mathematical model necessary
learning from scratch	apriori knowledge essential
several learning algorithms	not capable to learn
black-box behavior	simple interpretation and implementation

从表中可以看出，如果将二者结合，可以充分发挥二者的优势，弥补二者的劣势。

• 采用基于神经网络理论的数据驱动学习方法，对基于底层模糊系统的神经模糊系统进行训练。这种启发式算法只考虑局部信息引起基本模糊系统的局部变化。
• 它可以表示为学习过程中任何时刻（比如学习前，学习中或学习后）的模糊规则集。因此，系统可以根据模糊规则在有无先验知识的情况下进行初始化。
• 学习过程受到约束，以保证底层模糊系统的语义特性。
• 神经模糊系统近似于一个 n 维未知函数，该函数可由训练样本部分表示。因此，模糊规则可以解释为训练数据的模糊原型。
• 神经模糊系统被表示为特殊的三层前馈神经网络：
  • 第一层对应于输入变量。
  • 第二层象征着模糊规则。
  • 第三层表示输出变量。
  • 模糊集被转换为（模糊）连接权。
• 有些方法还使用五层，其中模糊集分别编码为第二层和第四层的神经元。但是，五层模型可以转换为三层体系结构。
  • 第一层为输入层，缓存输入信号。
  • 第二层为模糊化层，对输入信号进行模糊化。
  • 第三层为模糊规则层。
  • 第四层为模糊决策层，主要针对满足一定条件的量进行分类并将模糊量去模糊化。
  • 第五层为输出层，输出运算结果

两种常见的神经模糊模型：

• Mamdani 模型: 着重研究模型的可解释性
• Takagi-Sugeno-Kang (TSK) 模型：着重研究模型的精确程度

Mamdani 模型的模糊规则示意如下：

IF x1 is A1 and x2 is A2 and ... xn is An   THEN y = c1
IF funding is adequate and staff is small   THEN risk is low

可以看出，Mamdani 模型的输出（后件）为模糊集，需要加上解模糊的环节。

TSK 模型的模糊规则示意如下：

IF x1 is A1 and x2 is A2 and ... xn is An   THEN y = a0+a1*x1+...+an*xn
IF funding is adequate and staff is small   THEN risk is 0.2

可以看出，TSK 模型的 THEN 部分是清晰的，它的输出（后件）是一个函数，是所有输入变量的线性组合，因此具有较好的可解释性和精确性。

三种 FNN 的部署 方式：

• 真实输入，模糊权重
• 模糊输入，真实权重
• 模糊输入，模糊权重

3. 参考文献

无。